平均は1つじゃない！算術平均・加重平均からベイズ推定まで

最も身近な「算術平均」は、すべての値を合計してデータ数で割る方法だ。 例えば、10回の所要時間が「4、5、5、6、6、7、7、8、30、90分」なら、算術平均は合計168分を10で割った16.8分になる。しかし、多くは4〜8分なのに、30分と90分という極端な値に引っ張られている。 このデータを小さい順に並べ、中央を見る「中央値」は6.5分だ。中央値は厳密には平均の一種ではなく代表値だが、外れ値の影響を受けにくいため、算術平均と一緒に確認するとデータの姿をつかみやすい。

加重平均は、値ごとに重みを掛けて合計し、それを重みの合計で割る。式で表すと「Σ（値×重み）÷Σ重み」だ。 例えば、100件を代表する予測値が10分、10件を代表する予測値が30分だったとする。2つの値を単純平均すると20分だが、件数で加重平均すると「（10×100＋30×10）÷110」で約11.8分になる。こちらは110件全体を代表する値として解釈しやすい。 ただし、重みは大きければよいわけではない。件数、売上、観測時間、信頼度など、予測したい対象と対応する量を選ぶ必要がある。目的に合わない重みを付けると、かえって偏りを強めることもある。 「多重加重平均」は、算術平均や加重平均のように定義が1つに定まった一般的な名称ではない。複数の要因から合成した重みを使う方法や、グループ内とグループ間で段階的に加重平均する方法を指して使われることがある。いずれも、重みを決めた後の計算は加重平均と考えると分かりやすい。

極端な値への対処には、トリム平均とWinsorize（ウィンザー化）平均も使われる。 先ほどの10個の所要時間で、上下10％を除くトリム平均を考える。一番小さい4分と一番大きい90分を取り除くと、残る8個の平均は9.25分になる。極端な観測を計算から除外するため、外れ値の影響を抑えやすい。 一方、上下10％のWinsorize平均では、4分を次に小さい5分へ、90分を次に大きい30分へ置き換える。10個のデータ数を保ったまま平均すると10.9分になる。 トリム平均は端のデータを「除く」、Winsorize平均は端の値を境界値へ「置き換える」のが違いだ。どこまでを極端とするかで結果が変わるため、結果を見て都合よく割合を選ぶのではなく、業務上の理由や事前ルールを決めて使いたい。

ほかにも、目的によって役立つ平均がある。 「幾何平均」は、成長率や倍率が連続して掛け合わされる場面に向く。ある値が1年目に10％増え、2年目に10％減ると、変化率の算術平均は0％だが、元の値には戻らず0.99倍になる。倍率1.10と0.90の幾何平均は約0.995倍なので、年平均の変化率は約マイナス0.5％だ。 「調和平均」は、同じ距離を異なる速度で進む場合など、率の平均に向く。往路を時速60km、同じ距離の復路を時速30kmで進むと、全体の平均速度は算術平均の45kmではなく40kmになる。 「二乗平均平方根（RMS）」は、値を二乗して平均し、最後に平方根を取る。誤差が1と3ならRMSは約2.24で、大きな誤差をより強く反映する。予測誤差や信号の大きさを評価するときに役立つ。 なお「移動平均」は、時系列データの一定区間ごとに平均を取り直す方法だ。中心の求め方が新しいというより、平均する範囲を少しずつ動かして変動を滑らかに見る手法といえる。